泊松分布

一句话

泊松分布回答这样一个问题：某件事平均每小时发生 6 次，那么下一个小时具体发生几次？它给出 0 次、1 次、一直到 15 次各自的概率，全部由那个平均值 6 一个数决定。

下面从一件很具体的麻烦讲起，一步步走到那个只有一个参数的公式为什么必须长成那样。

先看一个麻烦：平均值不是承诺

一家小书店的老板数了一整年的账，得出一个结论：平均每小时进来 6 位顾客。

他想拿这个数排班。可他立刻发现，“平均 6 位”这句话对下一个小时几乎什么都没保证。这一小时可能进来 2 位，柜台闲着；也可能一下涌进 11 位，队排到门外。他真正需要知道的不是那个 6，而是每一种情况各有多大可能：一小时空无一人的概率有多大？超过 10 位的概率有多大？

同一个麻烦在别处一模一样地出现。矿工知道全网平均 10 分钟出一个区块，那么接下来一小时会出几个块？收款方知道自己等了 6 个区块的时间，那么在这段时间里，一个藏在暗处的攻击者可能已经挖出了几个？

这类问题都长着同一副样子：一段固定的时间窗口，里面装着若干次互不相干的、随时可能发生的事件，你只知道平均装几次，想知道具体装几次的概率分布。

朴素尝试与失败

招数一：就用平均值。 说下一小时来 6 位。问题是概率论里”平均”和”通常”是两码事。后面会算出来，平均 6 位时，恰好来 6 位的概率只有 0.160623——不到六分之一。剩下六分之五的时间里，答案都不是 6。

招数二：查历史记录。 老板翻出去年 3000 小时的账本，数出”有 178 个小时来了 4 位”，用 178/3000 当概率。这办法本身没错，但它有两个硬伤：第一，你必须先攒够数据，一家新店什么都不知道；第二，稀有情况永远数不准——“一小时来 20 位”也许一年只出现过一次，你无法判断那是 1/3000 还是 1/30000。而稀有情况恰恰是排班和安全分析最关心的部分。

招数三：把一小时切成 60 分钟，每分钟”来”或”不来”。 这一招方向对了。平均一小时 6 位，那就假定每分钟以 $6/60 = 0.1$ 的概率来一位，六十分钟独立重复——这是二项分布，可以算。

它错在哪？错在一分钟里可能来两位。切成 60 格，每格最多装一位，所以你算出的”一小时来 6 位”的概率是偏的。

那就切细一点。切成 3600 秒，每秒 $6/3600$；还不够，切成毫秒。这个”再切细一点”的动作可以一直做下去，而关键的事情发生了：切得越细，答案越稳定，最后收敛到一个固定的数。 用 $\lambda = 2$ 来看这个收敛（$\lambda$ 就是窗口内的平均次数）：

把窗口切成 n 格，每格发生概率 λ/n，算"0 次""1 次""2 次"的概率

  n         P(0 次)     P(1 次)     P(2 次)
  4         0.062500    0.250000    0.375000
  20        0.121577    0.270170    0.285180
  100       0.132620    0.270652    0.273414
  10000     0.135308    0.270671    0.270698
  ──────────────────────────────────────────
  切到无穷  0.135335    0.270671    0.270671   ← 泊松分布

极限就是泊松分布。它不是另一套理论，而是”把时间切到无限细的二项分布”。也正因为经过了这个极限，格子数 $n$ 消失了，公式里只剩下一个参数 $\lambda$。

机制：亲手算 λ = 2 的那一列

公式是

$$P(k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

三个零件：$\lambda$ 是窗口内的平均次数；$k$ 是你要问的具体次数；$k!$ 是阶乘（$3! = 3\times2\times1 = 6$，规定 $0! = 1$）。$e \approx 2.718282$ 是自然常数，$e^{-2} = 0.135335$。

取 $\lambda = 2$ 手算一遍，每一步都写出来：

k=0:  2^0 · e^-2 / 0!  =  1    × 0.135335 / 1   =  0.135335
k=1:  2^1 · e^-2 / 1!  =  2    × 0.135335 / 1   =  0.270671
k=2:  2^2 · e^-2 / 2!  =  4    × 0.135335 / 2   =  0.270671
k=3:  2^3 · e^-2 / 3!  =  8    × 0.135335 / 6   =  0.180447
k=4:  2^4 · e^-2 / 4!  =  16   × 0.135335 / 24  =  0.090224
k=5:  2^5 · e^-2 / 5!  =  32   × 0.135335 / 120 =  0.036089
k=6:  2^6 · e^-2 / 6!  =  64   × 0.135335 / 720 =  0.012030
                                        累计     =  0.995466
                                   k ≥ 7 的剩余  =  0.004534

画成柱状图（一个 # 约 0.0067）：

 k=0 │####################                      0.135335
 k=1 │#########################################  0.270671
 k=2 │#########################################  0.270671
 k=3 │###########################                0.180447
 k=4 │##############                             0.090224
 k=5 │#####                                      0.036089
 k=6 │##                                         0.012030
     └──────────────────────────────────────────

形状里有三件事值得停一下。

一，最高点不止一个。 $k=1$ 和 $k=2$ 概率完全相同，都是 0.270671。不是巧合：从 $P(1)$ 到 $P(2)$ 要乘 $\lambda/2 = 1$，正好不变。一般地 $P(k) = P(k-1)\cdot\lambda/k$，这个递推比原公式好算——从 $P(2) = 0.270671$ 出发，乘 $2/3$ 就得到 $P(3) = 0.180447$。

二，不对称。 左边被 0 挡住（次数不能是负的），右边可以一直伸出去。所以尾巴在右侧拖得很长。

三，右尾衰减极快。 分母的 $k!$ 涨得比分子的 $\lambda^k$ 猛得多，$k$ 一大就把整项压平。$P(6)$ 只有 $P(2)$ 的二十二分之一。

回到书店。$\lambda = 6$，同一个公式：

 k=0  0.002479 │
 k=1  0.014873 │###
 k=2  0.044618 │#########
 k=3  0.089235 │##################
 k=4  0.133853 │###########################
 k=5  0.160623 │################################
 k=6  0.160623 │################################
 k=7  0.137677 │############################
 k=8  0.103258 │#####################
 k=9  0.068838 │##############
 k=10 0.041303 │########
 k=11 0.022529 │#####
 k=12 0.011264 │##
 k=13 0.005199 │#
 k=14 0.002228 │

老板要的答案都在这张表里：恰好 6 位的概率 0.160623；3 位或更少 0.151204；10 位或更多 0.083924；落在 4 到 8 位之间 0.696034。他现在知道，按”6 位”排班，大约每七个小时就有一个小时人手明显不够。

这张表也解释了为什么 $\lambda = 6$ 时 $k=5$ 和 $k=6$ 又打平：$P(6) = P(5) \cdot 6/6$。当 $\lambda$ 是整数时，$k = \lambda$ 和 $k = \lambda - 1$ 概率总是相等的。

回访：这就是切细了的抛硬币

第三招被否掉的时候，其实已经把泊松分布造出来了。它就是二项分布——独立重复地”发生/不发生”——把格子切到无限细的样子。所以它和随机游走同源：随机游走每一步问”往前还是往后”，也是一串独立的二元选择。区别只在关心什么：随机游走关心累计位置，泊松分布关心固定窗口内发生的次数。

这个亲缘关系还解释了工作量证明为什么天然是泊松的。矿工每一次哈希尝试，都是一次成功概率极小的独立试验；一秒钟里有天文数字般多次尝试。这正是”格子极多、每格概率极低”的标准情形，于是”十分钟内出几个块”就服从 $\lambda = 1$ 的泊松分布。难度调整所维护的东西，本质上就是让这个 $\lambda$ 保持在 1。

而 $\lambda = 2$ 这个例子不是随手挑的。比特币白皮书第 11 节要算：收款方等了 $z$ 个确认，藏在暗处的攻击者在这段时间里可能已经挖出了几个块。中本聪的处理是——攻击者的进度服从泊松分布，期望值

$$\lambda = z \frac{q}{p}$$

其中 $q$ 是攻击者算力占比，$p = 1 - q$ 是诚实方的。直觉是：诚实方花了出 $z$ 个块的时间，攻击者以 $q/p$ 的相对速率在挖，所以期望挖出 $z \cdot q/p$ 个。

代入一个具体攻击者：$q = 0.25$（掌握四分之一算力），$z = 6$（等六个确认）。那么 $q/p = 0.25/0.75 = 1/3$，于是

$$\lambda = 6 \times \frac{1}{3} = 2$$

上面手算的那一列，正是这个攻击者的进度分布。它说：他一个块都没挖到的概率 0.135335，挖到 1 个 0.270671，挖到 2 个 0.270671，挖到 6 个及以上（也就是已经追上）约 0.017。把每一种进度的概率乘上”从落后 $z-k$ 处还能追平”的概率再加起来，就得到白皮书那个总概率 0.0499426——这一步用到的追平概率来自赌徒破产问题。

值得记住的是这个对比：只看赌徒破产、忽略攻击者的隐藏进度，会算出 $(1/3)^6 = 0.0013717$，也就是 1/729。而把泊松分布考虑进去后是 0.0499426，大了 36 倍。泊松分布在这里不是装饰，它是”收款方不知道对手已经跑了多远”这个不确定性的价钱。

边界与常见误解

它不是万能的计数分布。 泊松分布有两个前提：事件互相独立，平均速率恒定。都不难违反。顾客成群结队进店（一家四口同时进门）就不独立；午餐时段的速率和凌晨不一样，就不恒定。把泊松分布套到一个明显扎堆的过程上，会系统性地低估极端情况。

方差不是可以随便设的。 泊松分布的方差恰好等于 $\lambda$，标准差是 $\sqrt{\lambda}$。$\lambda = 6$ 时标准差 $\sqrt{6} = 2.449490$。这是公式的推论，不是可调的旋钮。真实数据的方差常常大于均值（叫过度分散），那是在提醒你事件其实不独立。

$\lambda$ 不必是整数，$k$ 必须是。 $\lambda = z\,q/p$ 在白皮书里通常算出小数，完全正常——平均值可以是 2.5 个块。但 $k$ 是发生次数，只能取 0, 1, 2, …。所以严格说泊松分布没有”密度”，只有各点的概率，白皮书里的”Poisson density”是个不太严谨的叫法。

$P(0) = e^{-\lambda}$，不是 0。 常有人以为”平均 6 次”意味着一小时肯定至少来一个人。$\lambda = 6$ 时空一小时的概率是 $e^{-6} = 0.002479$，不大，但每 400 小时就该出现一次。同理，攻击者在 $\lambda = 2$ 时一块未得的概率是 $e^{-2} = 0.135335$，这是分布里最需要单独盯住的一项，因为它对应着攻击者最不利的开局。